Олимпиада Математика



Задачи олимпиад по математике для 10 класса

Задачи олимпиад по математике 10 класс.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Главная страница


Задачи олимпиад. 10 класс. Вариант 3.





Часть 1

1. Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько было превоначально автобусов и сколько туристов было в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек.

2. Две окружности пересекаются в точках M и N. Точки A и B на одной окружности и C и D на другой окружности таковы, что точка M лежит на отрезке AC, а точка N --- на отрезке BD. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.

3. На окружности расположено 100 точек. Сколько существует различных незамкнутых несамопересекающихся 99-звенных ломаных с вершинами в этих точках?

4. В таблице 5*5 расставлены числа. Известно, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних клетках (клетки называются соседними, если они имеют общую сторону); а сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.

5. Дан набор из 2000 векторов в пространстве. Двое по очереди выбирают по вектору из этого набора. После того, как все векторы выбраны каждый находит сумму своих 1000 векторов. Выигрывает тот, у кого эта сумма больше по модулю (вектор равный сумме длиннее). Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? Описать ее.

6. В городе n домов. Какое максимальное непересекающихся заборов можно построить в этом городе так, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали одну и ту же совокупность домов?


Часть 2

1. Найти все решения уравнения 2 – 4| + |х2 – 9| = 5.

2. Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея. Доказать, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.

3. Пусть AM — медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла А, а Р и Q — точки касания окружности, вписанной в треугольник АВМ, с его сторонами АВ и ВМ соответственно. Известно, что PQ параллельно AM. Найти углы треугольника ABC.

4. Найти все решения уравнения х2 + у2 + z2 = х (у + z).

5. На доске написано выражение: 4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22. Расставьте знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство.


Часть 3

1. Между числами 4/7 и 5/7 найти натуральное число, являющееся квадратом рационального числа.

2. Разложить многочлен x5 + х4 +1 в произведение нескольких (не менее двух) многочленов степени не ниже первой.

3. Вершины D, Е и F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника ABC за вершины В, С и А соответственно. Известно, чти BD=AC, AF=CE=AB и треугольник DEF - равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC - равносторонний.

4. Докажите, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.

5. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число; ход состоит в том, чтобы вычесть из этого числа какую-либо его ненулевую цифру и записать получившееся число на месте старого. Ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получает ноль. На доске исходно написано число 1234, первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?


Задачи с решением :

1.
Условие

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Решение

Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая стоила bv, а маленькая — mv. Тогда из условий задачи имеем два уравнения
3bc + mc = 5bv, 2bc + mc = 3bv + mv.
Отсюда получаем:
5mv = (2bc + mc3bv)5 = 10bc + 5mc – 3(3bc + mc) = bc + 2mc.
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.

2

Условие

Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны. Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?

Решение

Покажем, что пяти машин заведомо достаточно. Будем грузить машины ящиками в любом порядке до тех пор, пока ящики не кончатся, следя лишь за тем, чтобы не наступила «перегрузка» машины. Это возможно, так как в любой момент погрузки будет хотя бы одна машина, загруженная не более чем двумя тоннами. Действительно, если бы все машины были загружены больше, чем на две тонны, то общий вес груза составлял бы больше, чем 5 • 2т=10т, что противоречит условию задачи. Эту машину можно догрузить любым ящиком, поскольку по условию задачи он весит не более тонны. Осталось показать, что четырех машин может не хватить. Например, для вывоза 13 ящиков весом т каждый, четырех машин недостаточно. Действительно, каждая машина может увезти не более трех таких ящиков, так как четыре ящика весят т > 3т. Значит, все машины увезут не больше 12 ящиков.




Задачи олимпиад по математике 10 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант