Олимпиада Математика



Задачи олимпиад по математике для 7 класса с решением

Задачи олимпиад по математике 7 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Главная страница


Задачи олимпиад с решением. 7 класс. Вариант 3.





Задача № 1 :

В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1. На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Докажите, что
1) n - четно,
2) n делится на 4.

Решение :

На каждой стороне написано либо число 1, либо -1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно). Если на стороне написано -1, тогда на концах написано -1 и +1, всего таких сторон m. Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано +1, тогда всего на концах всех сторон написано m+2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано +1 посчитали дважды. Значит, m+2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.



Задача № 2 :

В стране Мульти-пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Докажите, что сколько бы ни стоили газировка и пирожки, Малыш тоже может расплатиться без сдачи (все цены в стране Мульти-Пульти - целые числа).

Решение :

Пусть газировка стоит A сантиков, а пирожок B сантиков. Тогда 5 A + 16 B делится на 43. Тогда и 15 A + 48 B делится на 43, следовательно, 15 A + 48 B - 43 B = 15 A + 5 B = 5(3A+B) делится на 43. Так как 5 взаимно просто с 43, на 43 должен делиться второй множитель, то есть число 3A+B. А это и есть сумма, которую должен заплатить Малыш.




Задача № 3 :

В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Ответ :Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Решение :

В списке нет царя по имени Петр, следовательно, Павел Петрович был первый из этих царей. Других Павлов нет, следовательно, братья Александр Павлович и Николай Павлович правили сразу после Павла Петровича, сменив на троне один другого. Таким образом, последний царь был Николай Александрович (других Николаев нет). Александр Николаевич не мог править после последнего царя, значит, он унаследовал трон после Николая Павловича, который, следовательно, правил после своего брата Александра Павловича. Тогда наследником Александра Николаевича и отцом Николая Александровича мог быть только Александр Александрович.



Задача № 4 :

Остап Бендер поставил новые покрышки на автомобиль ``Антилопа Гну''. Известно, что передние покрышки автомобиля выходят из строя через 25000 км, а задние - через 15000 км (спереди и сзади покрышки одинаковые, но задние изнашиваются сильнее). Через сколько километров Остап Бендер должен поменять эти покрышки местами, чтобы ``Антилопа Гну'' прошла максимально возможное расстояние? Чему равно это расстояние?
Ответ :Сменить покрышки надо через 9375 км, тогда можно проехать 18750 км.

Решение :

Пусть Остап Бендер поменял покрышки местами через x километров. Тогда задние покрышки отработали [x/ 15000] своего ресурса, а передние [x/ 25000]. После замены они смогут проработать еще 25000(1-[x/ 15000]) и 15000(1-[x/ 25000]) километров соответственно. Таким образом, всего можно проехать не более x+ 25000(1-[x/ 15000]) = 25000 - 2/3x и не более x+15000(1-[x/ 25000]) = 15000 + 2/5x . Максимальное расстояние можно проехать если эти выражения равны (иначе либо первые, либо вторые покрышки выйдут из строя раньше, ведь когда первое выражение растет, то второе уменьшается и наоборот). Таким образом, 25000 - 2/3x = 15000 + 2/5x , откуда 10000 = [16/ 15]x , или x = 9375.




Олимпиадные задачи по математике 7 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

     Г Д З    7 класс    |       Математика 7 класс    |       Задачи по математике 7 класс с решением