Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задачи международной математической олимпиады

Задачи международной математической олимпиады:


Задача 1.

Натуральное число n назовем специальным,
если существуют натуральные числа a, b, c и d, удовлетворяющие равенству
n = ( a3 + 2b3 ) / ( c3 + 2d3 ),
Докажите, что:
a) существует бесконечно много специальных чисел;
b) 2014 не специальное число.





Задача 2.

Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E (точка C находится между точками B и E).
Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что прямые A1E, B1F и C1D пересекаются в одной точке.





Задача 3.

Найдите все тройки ( m, n, p ) положительных рациональных чисел таких, что все числа
m + 1/np,    n + 1/pm,    p + 1/mn     являются целыми.





Задача 4.

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках D и E соответственно.
Пусть биссектрисы углов ACB и ABC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно,
и Z — середина стороны BC.
Докажите, что треугольник XYZ равносторонний тогда и только тогда, когда угол A = 60 гр..





Задача 5.

Найдите все простые числа p, для которых число p2 - p + 1 является точным кубом.





Задача 6.

Дано целое число n > 2. Пусть S — подмножество множества { 1, 2, …, n } такое, что S не содержит два элемента,
один из которого делит другого, и не содержит два элемента, которые взаимно просты.
Найдите максимально возможное количество элементов такого множества S.





Задача 7.

Пусть точка O лежит внутри остроугольного треугольника ABC.
Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку O
и пересекаются второй раз в точках K, L и M, отличных от O.
Докажите, что O является центром вписанной окружности треугольника KLM тогда и только тогда,
когда O есть центр описанной окружности треугольника ABC.







Международные олимпиады по математике:                    продолжить решение >>>