Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Всероссийские олимпиады по математике

Задания всероссийской математической олимпиады:


Задача 1.

У реки живет племя Мумбо-Юмбо.
Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо.
Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя.
А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда.
В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо.
Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения.
Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6.
Каково наибольшее возможное её значение?





Задача 2.

В стране Леонардии все дороги — с односторонним движением.
Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города.
Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах,
откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него.
Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.





Задача 3.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны.
Точка D внутри треугольника такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC.
Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC,
равно AD + DC.





Задача 4.

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение
НОК(*,*,*) - НОК(*,*,*) = 2009
в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?





Задача 5.

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD; угол ABD = углу DBC.
На диагонали BD нашлась точка K такая, что BK = BC.
Докажите, что угол KAD = углу KCD





Задача 6.

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами.
Двое играющих берут по очереди по одному ореху.
Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха.
Если это — три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе — его соперник.
Кто из игроков может выигрывать, как бы не играл соперник?





Задача 7.

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения.
Полученные суммы и произведения выписали на доску.
Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?







Задания всероссийских математических олимпиад:                    продолжить решение >>>