Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Международные олимпиады по математике

Задания международной математической олимпиады:


Задача 1.

Докажите, что уравнение

x5 + 31 = y2

не имеет решения в целых числах.





Задача 2.

Точка X внутри выпуклого четырехугольника называется наблюдаемой из стороны YZ этого четырехугольника,
если основание перпендикуляра из X на прямую YZ принадлежит замкнутому отрезку [YZ].
Точка внутри выпуклого четырехугольника называется k - точкой , если она наблюдаема в точности из k сторон четырехугольника (например, каждая точка внутри квадрата является 4 - точкой).
Докажите, что если внутри выпуклого четырехугольника существует 1 - точка,
то там существует и k - точка для каждого k принадлежащего { 2, 3, 4 }.





Задача 3.

Найдите все простые числа p, q, не превосходящие 2005 и такие,
что p2 + 8 делится на q,      а      q2 + 8 делится на p.





Задача 4.

Решите уравнение 3x - 5y = z2 в натуральных числах.





Задача 5.

Пусть прямая MN параллельна стороне BC треугольника ABC, где M принадлежит отрезку AB,
а N принадлежит отрезку AC.
Прямые BN и CM пересекаются в точке P.
Описанные окружности треугольников BMP и CNP пересекаются в двух различных точках P и Q.
Докажите, что угол BAQ = углу CAP.





Задача 6.

В остроугольном треугольнике ABC с ортоцентром H (ортоцентр — точка пересечения высот)
точка M является серединой стороны AC.
Точка C1 стороны AB — основание высоты CC1 треугольника ABC, а точка H1 симметрична H относительно AB.
Точки P, Q и R являются ортогональными проекциями точки C1 на прямые AH1, AC и BC, соответственно.
Пусть точка M1 такая, что центр описанной окружности треугольника PQR является серединой отрезка MM1.
Докажите, что M1 лежит на отрезке BH1.





Задача 7.

Пусть S конечное множество натуральных чисел, которое имеет следующее свойство: если x — элемент S,
то и все положительные делители x также принадлежат S.
Непустое подмножество T множества S назовем хорошим,
если для любых чисел x, y принадлежащих T и x < y отношение y/x является степенью простого числа.
Непустое подмножество T множества S назовем плохим,
если для любых чисел x, y принадлежащих T и x < y, отношение y/x не является степенью простого числа.
Условимся, что одноэлементное подмножество S одновременно является и хорошим и плохим.
Пусть k максимально возможный размер хорошего подмножества S.
Докажите, что k также является наименьшим числом попарно-непересекающихся плохих подмножеств,
объединение которых дает множество S.







Задания международных математических олимпиад:                    продолжить решение >>>