Задания всероссийских математических олимпиад

Задания всероссийской математической олимпиады:

Задача 1.

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа.
Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи.
Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9 x 1000¹⁰⁰⁰ - ом месте?

Задача 2.

На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6.
Двое по очереди берут по одной карточке.
Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17.
Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?

Задача 3.

В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты.
Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму;
также можно выбрать числа a, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + c².
Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).

Задача 4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD некоторая точка диагонали AC принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AB и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и BC.
Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Задача 5.

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причем каждая сыграла с каждой ровно по одному разу.
Известно, что любые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков.
Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире.
(За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.)

Задача 6.

Бизнесмен Борис решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе.
Поскольку его «Лексус» едет вдесятеро быстрее Васиного трактора,
он дал Васе фору и выехал через час после Васи.
После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора,
поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую.
В результате встречи с Васиной рессорой Борису пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа,
после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше.
Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

Задача 7.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AC и AB соответственно.
На медиане BM выбрана точка P, не лежащая на CN.
Оказалось, что PC = 2PN.
Докажите, что AP = BC.