Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задачи всероссийской математической олимпиады

Задачи всероссийской математической олимпиады:


Задача 1.

1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания.
Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах.
Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом,
что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах.
Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей.





Задача 2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABC и ADC прямые.
На сторонах AB, BC, CD, DA взяты точки K, L, M, N соответственно так, что KLMN — прямоугольник.
Докажите, что середина диагонали AC равноудалена от прямых KL и MN.





Задача 3.

Дан остроугольный треугольник ABC.
Высота AA1 продолжена за вершину A на отрезок AA2 = BC.
Высота CC1 продолжена за вершину C на отрезок CC2 = AB.
Найдите углы треугольника A2BC2.





Задача 4.

У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый,
отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону.
Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь?





Задача 5.

На клетчатой доске размером 2014 х 2014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так,
что в каждом квадратике размером 3 х 3 клетки закрашено чётное число клеток.
Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток?





Задача 6.

На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними.
Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками.
Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так,
чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?







Всероссийские олимпиады по математике:                    продолжить решение >>>