Задачи всероссийской математической олимпиады

Задачи всероссийской математической олимпиады:

Задача 1.

1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания.
Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах.
Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом,
что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах.
Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей.

Задача 2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABC и ADC прямые.
На сторонах AB, BC, CD, DA взяты точки K, L, M, N соответственно так, что KLMN — прямоугольник.
Докажите, что середина диагонали AC равноудалена от прямых KL и MN.

Задача 3.

Дан остроугольный треугольник ABC.
Высота AA₁ продолжена за вершину A на отрезок AA₂ = BC.
Высота CC₁ продолжена за вершину C на отрезок CC₂ = AB.
Найдите углы треугольника A₂BC₂.

Задача 4.

У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый,
отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону.
Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь?

Задача 5.

На клетчатой доске размером 2014 х 2014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так,
что в каждом квадратике размером 3 х 3 клетки закрашено чётное число клеток.
Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток?

Задача 6.

На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними.
Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками.
Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так,
чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?