Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задания областной математической олимпиады 11 класс

Задания областной математической олимпиады:


Задача 1.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, D лежит на стороне AC.
Пусть E и F основания перпендикуляров, опущенных из точек A и C на прямую BD, соответственно.
M — такая точка на стороне BC, что DM перпендикулярно BC.
Докажите, что угол EMD = углу DMF.





Задача 2.

В остроугольном треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D.
Пусть E и F — основания перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны AB и AC соответственно.
Докажите, что если DE2 + DF2 принимает минимальное из всех возможных значений,
то угол между AD и биссектрисой угла A равен углу между биссектрисой и медианой,
опущенных из вершины A.





Задача 3.

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполнено AB2 + CD2 = AC2 + BD2.
Найдите угол между сторонами BC и AD.





Задача 4.

Дан треугольник ABC.
Пусть r — радиус вписанной в него окружности;
ra — радиус полуокружности с центром на стороне BC, касающейся сторон AB и AC.
Аналогично определяются rb и rc.
Докажите справедливость равенства
2/r = 1/ra + 1/rb + 1/rc.





Задача 5.

Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ.
Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются».
Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись».
Сколько троллей сидит за столом?





Задача 6.

Решить в натуральных числах уравнение

a4 + a3 + a2 + a + 1 = b2





Задача 7.

Длины сторон треугольника — неравные между собой целые числа, а меньшая высота равна 8.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной в треугольник окружностей.





Задача 8.

Полное замощение прямоугольника 2m x n с помощью mn прямоугольных плиток 2 x 1 называется трансверсальным,
если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части
и не проходящая через внутренние точки плиток.
а). Докажите, что любое замощение прямоугольника 6 x 6 с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б). Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника 8 x 8 с помощью 32 плиток?







Областные олимпиадные задания по математике для 11 класса:                    продолжить решение >>>