Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задачи областной математической олимпиады 9 класс

Задачи областной математической олимпиады:


Задача 1.

Числа 1,2,…,9 расставили по кругу в каком-то порядке.
Докажите, что найдутся три подряд стоящих числа с суммой не менее 16.





Задача 2.

Пусть x > y > z > 0.
Докажите, что (x - y + z)(1x - 1y + 1z) > 1.





Задача 3.

Найдите все целые числа, представимые в виде a3 + b3 + c3 - 3abc, где a,b,c - натуральные числа.





Задача 4.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, таких,
что каждое их числе n, n + 1, n + 2 представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.

Останется ли верным утверждение, если вместо трех чисел рассматривать четыре числа n - 1, n, n + 1, n + 2?





Задача 5.

Сколькими способами множество, содержащее 12 элементов, можно разбить на 6 множеств,
каждое из которых содержит по 2 элемента?





Задача 6.

Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка P так, что угол PAC = углу PBC.
Пусть L и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC и AC, соответственно,
D — середина AB.
Докажите, что DL = DN.





Задача 7.

Докажите, что любое натуральное число представимо в виде x2 - y2 + z2, где x, y, z — натуральные числа.





Задача 8.

В каждой клетке таблицы 3 х 3 написаны действительные числа.
Элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца,
равен модулю разности между суммой чисел i-й строки и суммой чисел j-го столбца ( i, j = 1, 2, 3 ).
Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь
двух других элементов.







Областные олимпиады по математике для 9 класса:                    продолжить решение >>>