Задания областной математической олимпиады 10 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть X — точка на стороне BC треугольника ABC.
Прямая, параллельная AB и проходящая через X, пересекает CA в точке V, а прямая, параллельная AC и проходящая через X, пересекает AB в точке W.
Прямые BV и XW пересекаются в точке D, а прямые CW и XV пересекаются в точке E.
Докажите, что 1/DE = 1/BX + 1/CX.

Задача 2.

Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков.
Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим.
Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?

Задача 3.

Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы
четырех квадратов целых чисел.

Задача 4.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром BD.
Пусть F симметрично A относительно BD, а N — точка пересечения AF и BD.
Прямая, проходящая через N и параллельно AC, пересекается с прямыми CD и BC в точках P и Q, соответственно.
Докажите, что точки P, C, Q и F — вершины прямоугольника.

Задача 5.

Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам,
проходит через центр вписанной окружности.

Задача 6.

Сравнить числа

cos(sin(2005))       и       sin(cos(2005)).

Задача 7.

Решить в рациональных числах уравнение:

x⁴ - 4x³ - 13x² + 28x + 12 = 0.

Задача 8.

Найдите сумму: 13 + 23 + 33 + ... + n3.