Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задания областной математической олимпиады 10 класс

Задания областной математической олимпиады:


Задача 1.

Пусть X — точка на стороне BC треугольника ABC.
Прямая, параллельная AB и проходящая через X, пересекает CA в точке V, а прямая, параллельная AC и проходящая через X, пересекает AB в точке W.
Прямые BV и XW пересекаются в точке D, а прямые CW и XV пересекаются в точке E.
Докажите, что 1/DE = 1/BX + 1/CX.





Задача 2.

Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков.
Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим.
Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?





Задача 3.

Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы
четырех квадратов целых чисел.





Задача 4.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром BD.
Пусть F симметрично A относительно BD, а N — точка пересечения AF и BD.
Прямая, проходящая через N и параллельно AC, пересекается с прямыми CD и BC в точках P и Q, соответственно.
Докажите, что точки P, C, Q и F — вершины прямоугольника.





Задача 5.

Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам,
проходит через центр вписанной окружности.





Задача 6.

Сравнить числа

cos(sin(2005))       и       sin(cos(2005)).





Задача 7.

Решить в рациональных числах уравнение:

x4 - 4x3 - 13x2 + 28x + 12 = 0.





Задача 8.

Найдите сумму: 13 + 23 + 33 + ... + n3.







Областные олимпиадные задания по математике для 10 класса:                    продолжить решение >>>