Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задачи областной математической олимпиады 10 класс

Задачи областной математической олимпиады:


Задача 1.

Определите все натуральные числа n, удовлетворяющие условию:
n имеет ровно четыре различных натуральных делителя, сумма которых равна 108.





Задача 2.

Назовем точку на декартовой прямоугольной координатной плоскости узлом сетки,
если обе ее координаты — целые числа.
Существует ли такой круг на этой плоскости, строго внутри которого расположено ровно 2011 узлов сетки?





Задача 3.

Пусть точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC,
а точки A0, B0 и C0 — центры окружностей, описанных около треугольников BCO, ACO и ABO, соответственно.
Докажите, что прямые AA0 , BB0 и CC0 пересекаются в одной точке.





Задача 4.

Окружность, вписанная в треугольник ABC,
делит его сторону AB на отрезки AD и DB с длинами 5 см и 3 см соответственно.
Величина, угла A равна 60 гр..
Найдите длину стороны BC.





Задача 5.

В равнобедренную трапецию ABCD ( AB = CD ) вписана окружность.
Пусть M — точка касания окружности со стороной CD,
K — точка пересечения окружности с отрезком AM,
L — точка пересечения окружности с отрезком BM.
Найдите величину AMAK + BMBL.





Задача 6.

Пусть M — произвольная точка на меньшей из двух дуг CD описанной около квадрата ABCD окружности.
Прямая AM пересекает BD и CD в точках P и R, соответственно.
Прямая BM пересекает отрезки AC и DC в точках Q и S, соответственно.
Докажите, что прямые PS и QR перпендикулярны.





Задача 7.

В группе из 42 человек каждый знаком, по крайней мере, с 36 людьми из группы.
Докажите, что в этой группе найдется компания из 7 человек, в которой все знают друг друга.





Задача 8.

Имеется n шашек ( n > 2 ) с разноцветными сторонами:
одна сторона каждой шашки имеет синий цвет, а другая — красный (как для игры в реверси).
Любое расположение этих шашек по одному на вершинах правильного n - угольника назовем конфигурацией.
За один ход разрешается переворачивать три рядом стоящие шашки.
Сколько различных конфигураций шашек можно получить из фиксированной начальной применением конечного числа ходов (две конфигурации считаются различными, если они отличаются цветом шашки хотя бы в одной вершине)?







Областные олимпиады по математике для 10 класса:                    продолжить решение >>>