Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Областная олимпиада по математике 10 класс

Задания областной математической олимпиады:


Задача 1.

Пусть ABCD — такой выпуклый четырехугольник,
что треугольник ABD равносторонний, а треугольник BCD равнобедренный, причем угол C = 90 гр..
Обозначим через E середину стороны AD.
Найдите величину угла CED.





Задача 2.

Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд.
Возможна ли ситуация,
когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом
и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?





Задача 3.

У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами.
На 200 карточках записано число 1,
на других 200 карточках записано число 2
и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5.
Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так,
чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9.
При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы.
Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?





Задача 4.

Две окружности v1 и v2 с центрами O1 и O2, соответственно, пересекаются в двух точках A и B,
причем угол O1AO2 тупой.
Прямая O2B вторично пересекает v1 в точке D, а прямая O1B вторично пересекает v2 в точке C.
Докажите, что B — центр вписанной в треугольник ACD окружности.





Задача 5.

Дан треугольник ABC.
Пусть r — радиус вписанной в него окружности; ra — радиус полуокружности с центром на стороне BC, касающейся сторон AB и AC.
Аналогично определяются rb и rc.
Докажите справедливость равенства 2/r = 1/ra + 1/rb + 1/rc.





Задача 6.

Пусть M — произвольная точка на меньшей из двух дуг CD описанной около квадрата ABCD окружности.
Прямая AM пересекает BD и CD в точках P и R, соответственно.
Прямая BM пересекает отрезки AC и DC в точках Q и S, соответственно.
Докажите, что прямые PS и QR перпендикулярны.





Задача 7.

Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так:
сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами,
которые имеют общие делители > 1 с 400.
Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое,
то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель > 1 с 399.
Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее.
Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5, …, 400, 3, 7, 9, …, 399, ….
Какая страница будет прочитана последней?







Задания областных математических олимпиад для 10 класса:                    продолжить решение >>>