Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Областная олимпиада по математике 11 класс

Задания областной математической олимпиады:


Задача 1.

В треугольнике ABC три чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P внутри треугольника.
Обозначим через Sa, Sb, Sc площади треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно.
Докажите, что площадь треугольника A1B1C1 является корнем уравнения

x3 + (Sa + Sb + Sc)x2 - 4SaSbSc = 0.





Задача 2.

На каждой стороне треугольника выбрано по p ? 1 точек, делящих сторону на p равных частей.
Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника.
На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками,
если известно, что p — простое число?





Задача 3.

В остроугольном треугольнике ABC точки D, E, F — основания высот,
опущенных из точек A, B, C соответственно, H — точка пересечения высот.
Докажите, что AHAD + BHBE + CHCF = 2.





Задача 4.

Для положительных чисел a, b, c верно равенство abc = 1.

Докажите неравенство: ab + c bc + a ca + b < 1.





Задача 5.

В шкатулке n монет достоинством в натуральное число дукатов каждая на сумму 2n - 1 дукатов.
Докажите, что любую сумму от 1 до 2n - 1 дукатов можно предоставить монетами из шкатулки.





Задача 6.

Найдите все пары ( a, b ) действительных чисел, удовлетворяющих следующей системе уравнений:

2a4 + b2 + 2a2 + b4 = 8
a + b = 2.





Задача 7.

Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник.
Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий
(стороны основания не закрашиваются).
Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.







Задания областных математических олимпиад для 11 класса:                    продолжить решение >>>