Олимпиада Математика




Главная    |    Областные олимпиады    |    Всероссийские олимпиады    |    Международные олимпиады



Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.



Задания областной математической олимпиады 9 класс

Задания областной математической олимпиады:


Задача 1.

Чему равно произведение последовательных целых чисел, - начинающихся числом -5 и оканчивающихся числом 5?





Задача 2.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE
треугольники ABC, BCD, CDE, DEA и EAB имеют одинаковую площадь.
Прямые AC и AD пересекают BE в точках M и N.
Докажите, что BM = EN.





Задача 3.

Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов a, b, c уравнения ax2 + bx + c = 0
можно за несколько шагов из x2 + 7x + 2007 = 0 получить 7x2 + 2007x + 1 = 0.
Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?





Задача 4.

A, B, C ходят со скоростью 5 километров в час.
У них есть автомобиль, который вмещает только двоих, скорость его 50 километров в час.
Могут ли они втроем преодолеть расстояние в 62 км, потратив менее 3 часов?





Задача 5.

Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC.
AO пересекает BC в точке K.
На сторонах AB и AC взяты точки L и M, соответственно, отличные от B и C,
так, что KL = KB и KM = KC.
Докажите, что LM и BC параллельны.





Задача 6.

Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ.
Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются».
Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись».
Сколько троллей сидит за столом?





Задача 7.

Пусть функция y = f(x) при всех действительных х определена, непрерывна и удовлетворяет условию:

f(f(x)) = f(x) + x.

Найдите две такие функции f (не равные тождественно нулю).





Задача 8.

Три ученика A, B и C сдают тесты для поступления в лицей.
Тесты проводятся в несколько туров. В каждом туре определяются самый лучший, средний и плохой результаты.
За самый лучший результат дается x очков, средний y очков а плохой — z очков, где x > y > z — натуральные числа.
В результате всех туров A набрал 22 очка, B и C по 9 очков каждый.
Известно, что в первом туре ученик B показал самый лучший результат.
Сколько было проведено туров, и как в каждом туре были распределены места?







Областные олимпиадные задания по математике для 9 класса:                    продолжить решение >>>