Олимпиадные задания по математике для 10 класса
с решением и ответами

Задача № 1 :

Решите уравнение (x - 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5) = 1320.

Задача № 2 :

На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы угол АВС был остроугольным?

Задача № 3 :

Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006,
которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

Задача № 4 :

Вычислить сумму a²⁰⁰⁶ + 1/a²⁰⁰⁶, если a²– a + 1 = 0.

Задача № 5:

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д.
Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

Задача № 1 :

Ответ: -8; 6.

Задача № 2 :

Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми вне круга.

Задача № 3 :

Пусть натуральные числа имеют вид x•10000 + 2006, где x € N.
После вычеркивания последних цифр получим число x.
По условию, где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006.
Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006.
Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи:
12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.

Задача № 4 :

Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1.
Заметим, что a³ + 1 = 0, т. к. a³ + 1 = (a + 1)(a² – a + 1).
Таким образом, a³ = -1. Тогда a²⁰⁰⁶ + 1/a²⁰⁰⁶ = (a³)⁶⁶⁸² = a² +1/a² = - 1.

Задача № 5 :

Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N,
т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2.
Следовательно, 2006 листков получиться не может.