Олимпиада Математика



Олимпиадные задания по математике для 10 класса
с решением и ответами

Олимпиадные задачи по математике 10 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Главная страница


Олимпиадные задания с решением. 10 класс. Вариант 2.





Задача № 1 :

Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.

Задача № 2 :

На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы ?АВС был остроугольным?

Задача № 3 :

Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006, которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

Задача № 4 :

Вычислить сумму a2006 + 1/a2006, если a2a + 1 = 0.

Задача № 5:

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?




Решение задач :

Задача № 1 :

Ответ: -8; 6.

Задача № 2 :

Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми вне круга.

Задача № 3 :

Пусть натуральные числа имеют вид x•10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних цифр получим число x. По условию , где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006. Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006. Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.

Задача № 4 :

Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1. Заметим, что a3 + 1 = 0, т. к. a3 + 1 = (a + 1)(a2a + 1). Таким образом, a3 = -1. Тогда a2006 + 1/a2006 = (a3)6682 = a2 +1/a2 = - 1.

Задача № 5 :

Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.





Олимпиадные задания по математике 10 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант