Олимпиада Математика



Олимпиады по математике 11 класс

Главная    |    1 класс    |    2 класс    |    3 класс    |    4 класс    |    5 класс    |    6 класс
               |    7 класс    |    8 класс    |    9 класс    |    10 класс    |    11 класс


Олимпиада по математике. 11 класс.




Задача 1 :

В игре участвуют два игрока А и Б. Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов. Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента. Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0
имеет три различных (действительных) решения?

Задача 2 :

Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)

Задача 3 :

Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких a, b и c неравенство превращается в равенство?

Задача 4 :

Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P. Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L. Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.

Задача 5 :

На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют не более одного раза за день. Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T. Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1 динар). Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров. Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров. Каково максимальное значение этого числа?

Задача 6 :

Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k. Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5

Задача 7 :

Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.

Задача 8 :

Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.

Задача 9 :

В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a. Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую, содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N. Найдите углы треугольника MAN.




Олимпиадные задачи по математике 11 класс:               Математическая олимпиада физтеха

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

    Всероссийская олимпиада по математике    |    Международная олимпиада по математике    |    ЕГЭ по математике