Олимпиада Математика



Задачи олимпиад по математике для 11 класса

Задачи олимпиад по математике 11 класс.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Главная страница


Задачи олимпиад. 11 класс.





Часть 1

1. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, у которых сумма первых двух цифр равна сумме двух последних цифр?

2. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС угол А — прямой, Е — точка пересечения диагоналей, точка F — проекция Е на строну АВ. Докажите, что углы DFE и CFE равны.

3. Найти все пары натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 = у2 + 77.

4. Доску размера 100 на 100 клеток, раскрашенную в шахматном порядке, произвольным образом разрезали по линиям сетки на квадраты со сторонами нечётной длины. В каждом квадрате отметили центральную клетку. Доказать, что среди отмеченных клеток поровну чёрных и белых.

5. Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.


Часть 2

1. Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить ее в два раза быстрее первого. Первый и третий могут вместе выполнить ее в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить работу быстрее, чем третий.

2. Две окружности пересекаются в точках М и N. Общая касательная этих окружностей касается их в точках А и В. Доказать, что

Ð ANB + Ð AMB= 180°.

3. Решить числовой ребус (одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным — разные):

AB´CD=EEFF.

4. В институте работает 100 человек Известно, что из любых четверых можно выбрать одного, который знаком с тремя остальными. Доказать, хотя бы один человек в институте знаком со всеми остальными

5. В правильном n - угольнике проведены все диагонали. На всех сторонах и диагоналях поставлено по стрелке (например, как это сделано на рисунке). Для любого ли n можно, так расставить стрелки, чтобы, начав движение с одной из вершин, невозможно было вновь вернуться в нее, двигаясь по сторонам и диагоналям только в направлениях, указанных стрелками.


Часть 3

1. Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

2. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

3. Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

5. Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.

6. Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?


Задачи с решением :

Задача 1.

Условие

Существует ли такой момент, когда часовая, минутная и секундная стрелки образуют попарно углы в 120°?

Решение

Будем отмерять время от полудня. Предположим, что t < 12 ч - нужный момент времени. Нетрудно понять, что тогда в момент времени 3t все три стрелки совместятся друг с другом.
Угол между направлениями совмещения часовой и минутной стрелок составляет 1/11 полного оборота; минутной и секундной стрелок - 1/59 полного оборота. Числа 11 и 59 - взаимно простые. Поэтому все три стрелки совмещаются только в начале отсчёта.
Тем самым 3t - это 12 или 24 часа. Тогда t - это 4 или 8 часов. Однако в эти моменты времени минутная и секундная стрелки совмещаются, а не образуют угол в 120°. Поэтому искомого момента времени не существует.

Задача 2.

Условие

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Решение.

Пусть a, a + d, a + 2d, a + 3d — искомая арифметическая прогрессия, b, bq, bq2, bq3 — искомая геометрическая прогрессия. По условию

a + b = 27,

a + d + bq = 27,

a + 2d + bq2 = 39,

a + 3d + bq3 = 87.

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего второе, из четвёртого третье:

d + b(q - 1) = 0,

d + bq(q - 1) = 12,

d + bq2(q - 1) = 48.

Из первого уравнения получаем b(q - 1) = - d; подставим это выражение во второе и третье уравнения:

d - dq = 12,

d - dq2 = 48.

Поделив последнее уравнение на предпоследнее, получим q = 3. Следовательно, d = - 6, b = 3 и a = 24.
Таким образом, искомые прогрессии — это
24, 18, 12, 6;

3, 9, 27, 81.




Задачи олимпиад по математике 11 класс:               Математическая олимпиада физтеха

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

    Всероссийская олимпиада по математике    |    Международная олимпиада по математике


Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.