Олимпиада Математика



Олимпиады по математике 11 класс с решением

Олимпиады по математике 11 класс с ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Главная страница


Олимпиады по математике. 11 класс. Вариант 1.





Задача 1 :

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Задача 2 :

Решите уравнение     sin44x + cos2x = 2sin4x х cos4x.

Задача 3 :

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Задача 4 :

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

Задача 5 :

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.




Решение задач :

Задача 1 :

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2   + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.

Задача 2 :

Перенесем в левую часть  2sin4· cos4x и прибавим и вычтем по cos8x. В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0, которое равносильно следующей системе:уравнение можно преобразовать

 

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .

Задача 3 :

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за
1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Задача 4 :

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х02)(x - х0) + 1/х0.(*) Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х1;0);  
 
х1 можно определить из уравнения -1/(х02)(x - х0) + 1/х0= 0. Решая данное уравнение, получим х1 = 2х0.  Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y2 = 2/х0. Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины  а = 2|х0| и b = 2 / |х0|. Площадь данного треугольника равна 2.

Задача 5 :

Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.





Олимпиады по математике 11 класс:                Математическая олимпиада физтеха

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

    Всероссийская олимпиада по математике    |    Международная олимпиада по математике