Пример решения олимпиадной задачи по математике 10 класс.
Условие задачи
Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.
Решение задачи
Рассмотрим сумму k натуральных чисел, начиная с числа n.
Рассмотрим два случая: для чётного и нечётного k.
a) k = 2p
S = p(2n + 2p - 1)
б) k = 2p + 1
S = (2p + 1)(n + p)
Итак, число S, являющееся суммой нескольких последовательных натуральных чисел, должно делиться на некоторое нечётное число.
Попробуем по имеющемуся нечётному множителю числа S определить, как оно представляется в виде такой суммы.
Пусть S = (2m + 1)r
Тогда в случае а) получим систему
2m + 1 = 2n + 2p - 1
r = p
Откуда:
n = m – r + 1
p = r
Чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
m > r + 1
В случае б) имеем систему:
2m + 1 = 2p + 1
r = n + p
Получим:
p = m
n = r – m
Условие для m r в этом случае:
r > m
Поскольку для любых чисел m, r всегда истинно ровно одно из ограничений,
то для каждого нечётного множителя числа S получим ровно одно представление его в виде суммы последовательных натуральных чисел.
Заметим, что при этом учитывается сумма и из одного слагаемого – само число S,
соответствующая разложению S = 1*S.
Сумм же из нескольких слагаемых на одну меньше, чем нечётных делителей числа S.
Для четырёхзначного числа наибольшее количество нечётных делителей – 24, столько их будет,
к примеру, в числе 3465 = 3*3*5*7*11.
Поэтому его можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел 23 - мя способами
(и ещё один способ, как уже было сказано – это «сумма» из одного слагаемого 3465)
Интересно, что, скажем, во французской математической традиции, к натуральным числам относится и число 0.
Если допускать суммы с нулём, можно будет увеличить максимальное число способов на один.
Для этого следует найти четырёхзначное треугольное число, имеющее 24 нечётных делителя.
Одним из таких чисел будет 3*3*5*7*13 = 4095.