Школьная Олимпиада



Главная    |    1 класс    |    2 класс    |    3 класс    |    4 класс    |    5 класс    |    6 класс
               |    7 класс    |    8 класс    |    9 класс    |    10 класс    |    11 класс



Школьная олимпиада по математике в 8 классе



Школьная олимпиада для 8 класса по математике

Школьная олимпиада по математике 8 класс.

Вариант 1

1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1).
Систему координат стерли.
Восстановите ее по двум отмеченным точкам.

2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45o. Найдите угол FXE.

4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
Точка p – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС,
Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки p, Q, R и T лежат на одной окружности.

5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны.
Назовем его "высотами" векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны,
перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF.
Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда сумма его "высот" равна нулевому вектору.




Школьная олимпиада по математике 8 класс.

Вариант 2

1. Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.

3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

4. В трапеции ABCD: AB = BC = CD, CH – высота.
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС, проходит через середину BD.

5. Пусть AA1 и BB1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС, М – середина АВ.
Окружности, описанные около треугольников AMA1 и BMB1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно.
Докажите, что К, М и L лежат на одной прямой.

6. Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.





         Выполнение учебных работ на заказ. Срок от 4 часов! Гарантия качества.   Учителю доп. зар-ок.


Олимпиада в 8 классе по математике: задания, решение, ответы