Школьная олимпиада по математике в 8 классе
Школьная олимпиада для 8 класса по математике
Школьная олимпиада по математике 8 класс.
Вариант 1
1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1).
Систему координат стерли.
Восстановите ее по двум отмеченным точкам.
2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45o. Найдите угол FXE.
4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
Точка p – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС,
Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки p, Q, R и T лежат на одной окружности.
5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.
6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны.
Назовем его "высотами" векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны,
перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF.
Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда сумма его "высот" равна нулевому вектору.
Школьная олимпиада по математике 8 класс.
Вариант 2
1. Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.
3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.
4. В трапеции ABCD: AB = BC = CD, CH – высота.
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС, проходит через середину BD.
5. Пусть AA1 и BB1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС, М – середина АВ.
Окружности, описанные около треугольников AMA1 и BMB1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно.
Докажите, что К, М и L лежат на одной прямой.
6. Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Олимпиада в 8 классе по математике: задания, решение, ответы
