Е Г Э по математике



ЕГЭ 2017 по математике задание 15 с решением


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017 по математике

ЕГЭ по математике 2017 в формате pdf     Базовый уровень     |     Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Математика:     базовый   |   профильный 1-12   |   13   |   14   |   15   |   16   |   17   |   18   |   19   |       Главная




ЕГЭ 2017 по математике       задание 15

ЕГЭ 2017 по математике профильный уровень задание 15 с решением




     ЕГЭ по математике       задание 15

Условие:

Решить неравенство:
log2((7 -x2 - 3) (7 -x2+16-1)) + log2((7-x2-3)/(7 -x2+16 - 1)) > log2(77-x2 - 2)2

Решение:

Разбираемся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7(-(x2))-3) (7(-(x2) + 16) -1 ) > 0

-x2 всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7(-x2) < = 1, следовательно,
7(-x2) - 3 < = -2 < 0

Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7(-(x2)+16) - 1 < 0
7(-(x2)+16) < 1 = 70
-(x2)+16 < 0
x2 > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)

2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но там результат будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках стоят одинаковые выражения.

3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7(7-x2)-2)2 > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7(7-x2)-2 = 0
7(7-x2) = 7(log_7(2))
7-x2 = log_7(2)
x2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

То есть, условие x не равно (+-)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п. (1) мы уже выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.

Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (- бесконечность; -4) U (4, + бесконечность)

4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно преобразовать вот так:
log_2((7(-x2) - 3)2) > log_2((7(7 - x2) - 2)2)

log_2(x) - функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не меняя знак:
(7(-x2)-3)2 > (7(7-x2)-2)2

Оценим сверху и снизу выражения (7(-x2)-3)2 и (7(7-x2)-2)2, принимая во внимание ОДЗ:

-x2 < -16
0 < 7(-x2) < 1
-3 < 7(-x2)-3 < -2
4 < (7(-x2)-3)2 < 9

-x2 < -16
0 < 7(7-x2) < 1
-2 < 7(-x2)-2 < -1
1 < (7(-x2)-3)2 < 4

Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.

Ответ:      (-1; -4) (4; +1)





Олимпиада по математике (решение, ответы) 11 класс :             1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант