Е Г Э по математике



ЕГЭ 2017 по математике задание 18 с решением


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017 по математике

ЕГЭ по математике 2017 в формате pdf     Базовый уровень     |     Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Математика:     базовый   |   профильный 1-12   |   13   |   14   |   15   |   16   |   17   |   18   |   19   |       Главная




ЕГЭ 2017 по математике       задание 18

ЕГЭ 2017 по математике профильный уровень задание 18 с решением




     ЕГЭ по математике

Условие:

Найдите все положительные значения параметра а,
при каждом из которых уравнение аx = x имеет единственное решение.

Решение:

Пусть f(x) = ax, g(x) = x.

Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.

При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.



При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет единственное решение x = 1.

При a > 1:
Производная функции h(x) = (ax - x) равна
(ax - x) = ax ln(a) - 1
Приравняем её к нулю:
ax ln(a) = 1
ax = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа - возрастает.

Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.

То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = ax - x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными словами, когда прямая y = x является касательной к графику функции ax.




То есть

ax = x
ax ln(a) = 1

Подставляем ax = x во второе уравнение:
x ln(a) = 1, откуда ln(a) = 1/x, a = e(1/x).

Снова подставляем во второе уравнение:
(e(1/x))x (1/x) = 1
e1 = x
x = e.

А это подставляем в первое уравнение:
ae = e
a = e(1/e)

Ответ:

(0;1]{e(1/e)}



     ЕГЭ по математике

Найти все значения параметра a, при которых функция
f(x) = x2 - |x-a2| - 9x
имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение:

Раскроем модуль:

При x <= a2: f(x) = x2 - 8x - a2,
при x > a2: f(x) = x2 - 10x + a2.

Производная левой части: f'(x) = 2x - 8
Производная правой части: f'(x) = 2x - 10

И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая — убывает (то есть 2x-10 < 0).

То есть, получаем систему:
2x-8 > 0
2x-10 < 0
x = a2

откуда
4 < a2 < 5



a ~ (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Ответ:      (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))





Олимпиада по математике (решение, ответы) 11 класс :             1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант