ЕГЭ по математике
Условие:
Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1.
Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P.
Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения:
N = (p1 x k1) (p2 x k2) ... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа,
а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.
Например:
15 = (31) (51)
72 = 8 х 9 = ( 2 x 3 ) (32)
Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1 + 1) (k2 + 1) ...
Итак, по условию, P = N1 N2 ... N11, где
N1 = (p1 x k[1,1]) (p2 x k[1,2]) ...
N2 = (p1 x k[2,1]) (p2 x k[2,2]) ...
...,
а это значит, что
P = (p1 x (k[1,1] + k[2,1] + ... + k[11,1])) (p2 x (k[1,2] + k[2,2] + ... + k[11,2])) ...,
и общее количество натуральных делителей числа P равно
(k[1,1] + k[2,1] + ... + k[11,1] + 1) (k[1,2] + k[2,2] + ... + k[11,2] + 1) ...
Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11.
То есть, например,
N1 = 21 = 2,
N2 = 22 = 4,
N3 = 23 = 8,
...
N11 = 211 = 2048.
Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.
Ответ: 67.
ЕГЭ по математике
Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Решение:
Каждое натуральное число может быть либо четным (2 k), либо нечетным (2 k+1).
1. Если число нечетное:
n = 2 k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые
(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)
То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.
2. Если число четное:
n = 2 k
Тут придется рассмотреть два случая:
2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2 m.
Тогда n = 4 m = (2 m+1)+(2 m-1).
Числа (2 m+1) и (2 m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 m+1)-(2 m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 m+1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.
2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 m-1.
Тогда n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
Числа (2 m-3) и (2 m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 m+1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.
Ответ: 1,2,3,4,6
|
Еще задания 19 профильного уровня егэ по математике с решением